图1 字串4

图1

图1

　　天津市第四十二中学 张鼎言 字串4

　　1. 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，P)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点。

字串1

　　(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； 字串4

　　(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由(此题不要求在答题卡上画图)。

　　解：(1)过C点的直线y=kx p，k存在。A(x1，y1)、B(x2，y2)

字串6

　　-x2-2pkx-2p2=0

　　△=4p2k2 8p2>0

　　x1 x2=2pk，x1x2=-2p2

字串6

　　如右图： 字串9

　　S△ANB=S△ANC S△BNC 字串2

　　=-|NC|gh1 -|NC|gh2 字串5

　　=-|NC|g(h1 h2)

　　=-·2pg|x2-x1|=p|x2-x1|

　　|x2-x1|2

　　=(x1 x2)2-4x1x2

　　=4p2g(k2 2)

字串2

　　∴S△ANB=2p2g- 字串2

　　∴当k=0时， 字串4

　　(S△ANB)min=2-p2 字串4

　　分析：(2)如右示意图A(x1，y1)、C(0，p)、O'(-，-)

字串7

　　R=|O'p|=-|AC|

字串6

　　=-- 字串8

　　=-- 字串1

　　=-- 字串5

　　|O'H|=|--a| 字串9

　　=-|y1 p-2a|

字串7

　　|PH|2=|O'P|2-|O'H|2 字串4

　　=-[(y12 p2)-(y1 p-2a)2]

字串1

　　=y1(a--) a(p-a) 字串6

　　分析上面的式子，A为抛物线上的动点，所以y1是变量，p为常量，a为所求，定值是与变量y1无关的值，即在解析式中消去y1。

字串9

　　由此，设a=-，|PH|2=-，|PH|=- 字串3

　　|PQ|=2|PH|=p(定值) 字串5

　　注：(2)是定值问题的分析方法，要分清常量与变量及变量与所求量。